La codifica binaria della informazione: differenze tra le versioni

'''Vitoantonio Bevilacqua''' [mailto:vitoantonio.bevilacqua@poliba.it vitoantonio.bevilacqua@poliba.it]

<span style='font-size:20px;'>[math](1010.101)_2 = (1 * 2^3+ 0 * 2^2+1 * 2^1+ 0 * 2^0 + 1 * 2^{-1}+ 0 * 2^{-2} + 1 * 2^{-3})_{10}=(10.625)_{10} [/math]</span>

<span style='font-size:20px;'>[math](127.4)_{10} = (1111111.0110)_2 = (127.375)_{10} [/math]</span>

*Errore relativo <span style='font-size:20px;'>[math]e_r =\frac{e_a}{num}[/math]</span> dove ''num'' è il numero iniziale rispetto al quale si è commesso l’errore di codifica

Concetto di ''range'' (intervallo di rappresentazione di un numero): preso un byte, supponendo che, avendo a disposizione n bit, tutti gli n codificano numeri interi in base binaria, il ''range'' di rappresentazione varia tra <span style='font-size:20px;'>[math][0, 2^n − 1][/math]</span>

[math]2^n = 256[/math] Tenendo conto che si inizia la numerazione da 0.  

Essendo 8 i bit: [0, 255]

===Codifica esadecimale di un numero===

La codifica esadecimale di un numero è necessaria per rendere il codice più compresso (ovvero un numero inferiore di cifre).  

Per eseguirla si possono utilizzare due metodi:

#Gli algoritmi da usare sono sempre gli algoritmi di Horner, con le opportune modifiche (in colonna si moltiplica e divide per 16). Infatti i due algoritmi sono generici, nel senso che, non dipendono dalla base in cui è rappresentato un numero.  

#Si codifica in binario il numero, quindi, essendo [math]24 = 16[/math] si raccolgono le cifre a 4 a 4, a partire dalla virgola e si decodifica da base binaria a base decimale ciascuno dei blocchi Esempio:  

Codifica in esadecimale di [math] 65.25 : (65.25)_10 = (1000001.01)_2[/math]

{| class="wikitable"

|-

Dunque [math](65.25)_{10} = (41.4)_{16} [/math]

===Rappresentazione con modulo e segno (“signed magnitude” o M&S)===

Per rappresentare un numero con segno, si usa, per convenzione:

*Un bit per il segno: 0 per + (più), 1 per – (meno)  

*N-1 bit per il modulo 

Il bit che codifica il segno è definito MSB (Most Significant Bit, il primo bit, il più significativo).  

Esempio:[math] n = 8[/math], range [math][-127,+127] [/math]

[math](−11)_10 = (0011011)_2  [/math]

[[File:Mantissa1.png|center]]

In questo caso le combinazioni si riducono a 255 causa la doppia rappresentazione dello 0: [math]10000000 = 00000000 = 0[/math] e il range è:  

<span style='font-size:20px;'>[math][-(2^{n-1}-1),2^{n-1}-1] = [-127,127]. [/math]</span>

===L’operazione di complemento a uno. (CA1) ===

E’ un’operazione molto semplice per un sistema di calcolo ed è alla base dell’operazione di complemento a due grazie alla quale è possibile rappresentare numeri interi negativi e positivi.  

Per trovare la rappresentazione in complemento a uno si invertono semplicemente tutti i bit della parola.  

===La codifica in complemento a due per i numeri con segno (CA2) ===

Il complemento a due è il metodo più diffuso per la rappresentazione dei numeri con segno. Il valore da utilizzare relativamente al MSB risulta essere il suo opposto (questo implica che se vale 0 porta a una decodifica di valore uguale alla rappresentazione in binario puro):

:00000000=0 

:00000001=1 

:… 

:01111111=+127 

:10000000=-1⋅27=-128 

:10000001=-128+1=-127 

:… 

:11111111=-1

Le combinazioni sono 256 per la rappresentazione univoca dello 0: ovvero soltanto [math]00000000 = 0[/math]; in questo caso il range varia tra [math][-(2^{n-1}),2^{n-1}-1] = [-128,127] [/math] .

Per codificare un numero in complemento a due:

#Si sceglie il range per il quale è possibile codificare il numero e di conseguenza i bit necessari  

#Si rappresenta il valore assoluto del numero in binario  

#Si applica l’operazione di complemento a 1 e si somma 1  

#La sequenza ottenuta è la codifica del numero iniziale in complemento a due Esempio:  

Si vuole codifica in complemento a 2 il numero -65  

:Il range varia tra [-128,127]  

:[math]2^8[/math] combinazioni 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖

:8 bit necessari  

:Il valore assoluto è: [math](65)_10 = (01000001)_2 [/math]

:Faccio il complemento a 1: [math]10111110 [/math]

:Il complemento a 2 è:[math] 10111110 + 1 = 10111111 [/math]

==Lo standard IEEE 754  ==

'''Standard IEEE 754 single precision: '''

Rappresentazione di un numero reale in 32 bit.  

I 32 bit vengono suddivisi in 3 gruppi:  

{| class="wikitable"

|-

|±

|esponente  

|mantissa  

|-

|1

|8  

|23  

Il modulo del numero viene codificato in base binaria usando gli algoritmi di divisione e moltiplicazione successive evidenziando, nella parte decimale, un periodo ove ci fosse.  

La rappresentazione binaria risultante è detta “fixed point” (a virgola fissa).  

Si passa alla rappresentazione “floating point” (a virgola mobile) per determinare mantissa ed esponente.

Si sposta la virgola fino alla sinistra dell’ultima cifra diversa da zero, cambiando anche l’esponente per riequilibrare l’ordine di grandezza.  

La parte dopo la virgola indica la mantissa matematica.  

Se si sposta la virgola alla destra dell’ultima cifra diversa da zero, cambiando anche l’esponente:  

*La parte del numero dopo la virgola indica la mantissa normalizzata che, se composta da un numero di cifre < 23, ai restanti bit si assegna valore 0  

*Per codificare l’esponente, si usa la rappresentazione per eccesso: si somma l’esponente al ''bias'' [math](2^{n−1} − 1)[/math] dove n è il numero di bit riservati all'esponente e quindi si codifica il numero  

'''Esempio: '''

Si vuole codificare secondo lo standard IEEE754 a single precision, il numero '''-118.625'''  

*Codifico la parte intera: [math](118)_{10} = (1110110)_2[/math]

*Codifico la parte decimale: [math](0.625)_{10} = (.101)_2[/math]

*La rappresentazione in fixed point è: '''1110110.101 '''

*Sposto la virgola fino alla sinistra dell’ultima cifra diversa da 0 e riequilibrio l’ordine di grandezza: [math]0.1110110101*2^7[/math]

*La mantissa matematica è: '''1110110101 '''

*Sposto la virgola fino alla destra dell’ultima cifra diversa da zero e riequilibrio l’ordine di grandezza: [math]1.110110101*2^6[/math]

*La mantissa normalizzata è: '''110110101 '''

*Codifico l’esponente: <span style='font-size:20px;'>[math]6 + 2^7 − 1 = 6 + 127 = 5 + 128 = 10000101 [/math]</span>

*La rappresentazione secondo lo standard IEEE754 a single precision è:

{| class="wikitable"

|-

|1

|1000101

|11011010100000000000000  

|-

|±

|esponente

|mantissa  

L’ordine di precisione delo standard IEEE754 è dato dal numero di cifre della mantissa.  

Per ottenere una rappresentazione più precisa si usa lo standard IEEE754 a double precision (64 bit)  

{| class="wikitable"

|-

|±

|esponente

|mantissa  

|-

|1

|11

|52  

Il metodo di rappresentazione è simile a quello usato per lo standard a single precision, l’unica cosa che varia è il bias:  

<span style='font-size:20px;'>[math]2^{11−1} − 1 = 1023 [/math]</span>

I valori assunti dall'esponente e dalla mantissa determinano l'appartenenza del numero ad una di queste categorie:  

*Zeri;  

*Numeri in forma normale;  

*Numeri in forma denormalizzata;  

*Infiniti;  

*NaN (not a number).  

   

  {| class="wikitable"

|-

! Esp.

! Mantissa

|-

| Zeri

| 0

| 0

|-

| Numeri denormalizzati

| 0  

|non zero  

|-

|Numeri normalizzati

|1-254

|qualunque  

|-

|Infiniti

|255

|0

|-  

|Nan (not a number)

|255

|non zero  

|}